יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג) r).(p (q r)) (q פתרון: נבנה את טבלת האמת של הפסוק: p q r p (q r) q r F F F T T T F F T T T F F T F T T F F T T T T T T F F F T T T F T F F F T T F F F F T T T T T T לכן הפסוק הדיסיונקטיבי הנורמלי הקנוני השקול לוגית הוא: r) ( p q שורה מס' 1 r) ( p q שורה מס' 2 r) ( p q שורה מס' 3 r) ( p q שורה מס' 4 r) (p q שורה מס' 5 r). (p q שורה מס' 8 2. ידוע ש {,, } היא מערכת קשרים שלמה. הוכיחו ש (א) {, } היא מערכת קשרים שלמה. פתרון: קודם ניתן הסבר אינטואיטיבי ואחר כך נוכיח כמו צריך באינדוקציה (במבחן הוכיחו באינדוקציה). אנו יודעים ש {,, } היא מערכת קשרים שלמה, לכן מספיק להביע את הקשר באמצעות {, }. קל לבדוק (ע''י טבלת אמת למשל) ש (p q) (( p) ( q)) לכן אם } F f : {T, F } n {T, פונקציה כלשהי, אז יודעים שקיים פסוק ψ הכתוב רק באמצעות המערכת {,, } שטבלת האמת שלו שווה לפונקציה f. אז נחליף כל תת פסוק שצורתו (q p) (כאשר p ו q משתנים פסוקיים) בפסוק השקול לוגית לו ((q ) (p )) ונקבל פסוק ϕ הכתוב רק באמצעות המערכת {, } ושקול לוגית ל ψ. 1
ההוכחה: נוכיח באינדוקציה על אורך הפסוק שלכל פסוק ϕ במערכת (שאנו יודעים שהיא שלמה) }, {, קיים פסוק ϕ במערכת } {, ששקול לוגית ל.ϕ אם ϕ משתנה פסוקי אז נקח ϕ, = ϕ ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת }.{, יהי ϕ פסוק שאורכו גדול מ 1 במערכת {,, }, נניח שהטענה נכונה עבור כל פסוק במערכת {,, } שאורכו קטן ממש מהאורך של ϕ. נוכיח שהטענה נכונה עבור ϕ: i. אם (ψ ) ϕ, = אז מכוון שהאורך של ψ קטן ממש מהאורך של ϕ, ע''פ הנחת האינדוקציה קיים פסוק ψ במערכת {, } ששקול לוגית ל ψ. נקח ) ( ψ,ϕ = ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת }.{,.ii אם (χ ϕ, = ψ) אז מכוון שהאורך של ψ ושל χ קטן ממש מהאורך של,ϕ ע''פ הנחת האינדוקציה קיימים פסוקים χ ψ, במערכת } {, ששקולים לוגית ל ψ, χ בהתאמה. אז נקח ) χ,ϕ = (ψ ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת {, }..iii אם (χ ϕ, = ψ) אז מכוון שהאורך של ψ ושל χ קטן ממש מהאורך של,ϕ ע''פ הנחת האינדוקציה קיימים פסוקים χ ψ, במערכת } {, ששקולים לוגית ל,ψ χ בהתאמה. אז נקח ϕ = (( ψ ) ( χ )), ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת {, }. לכן הטענה נכונה עבור ϕ, ז''א {, } מערכת קשרים שלמה. (ב) {, } היא מערכת קשרים שלמה. פתרון: כאן נביע את הקשרים ו באמצעות {, } נשים לב לטבלה: p q p q ( p) q F F T T F T T T T F F F T T T T לכן,( p) q p q ז''א,( p) q ( p) q לכן כמו כן (p q) ( p) q (p q) (( p) ( q)) (p ( q)). ההוכחה: נוכיח באינדוקציה על אורך הפסוק שלכל פסוק ϕ במערכת (שאנו יודעים שהיא שלמה) }, {, קיים פסוק ϕ במערכת } {, ששקול לוגית ל.ϕ אם ϕ משתנה פסוקי אז נקח ϕ, = ϕ ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת }.{, יהי ϕ פסוק שאורכו גדול מ 1 במערכת {,, }, נניח שהטענה נכונה עבור כל פסוק במערכת {,, } שאורכו קטן ממש מהאורך של ϕ. נוכיח שהטענה נכונה עבור ϕ: 2
i. אם (ψ ) ϕ, = אז מכוון שהאורך של ψ קטן ממש מהאורך של ϕ, ע''פ הנחת האינדוקציה קיים פסוק ψ במערכת {, } ששקול לוגית ל ψ. נקח ) ( ψ,ϕ = ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת }.{,.ii אם (χ ϕ, = ψ) אז מכוון שהאורך של ψ ושל χ קטן ממש מהאורך של,ϕ ע''פ הנחת האינדוקציה קיימים פסוקים χ ψ, במערכת } {, ששקולים לוגית ל,ψ χ בהתאמה. אז נקח ϕ = (ψ ( χ )), ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת {, }..iii אם (χ ϕ, = ψ) אז מכוון שהאורך של ψ ושל χ קטן ממש מהאורך של,ϕ ע''פ הנחת האינדוקציה קיימים פסוקים χ ψ, במערכת } {, ששקולים לוגית ל,ψ χ בהתאמה. אז נקח ϕ = (( ψ ) χ ), ברור שהוא שקול לוגית ל ϕ ושהוא במערכת {, }. לכן הטענה נכונה עבור ϕ, ז''א {, } מערכת קשרים שלמה. p q p q F F T הוכיחו כי { } היא מערכת F T T (א) נגדיר קשר ע''י הטבלה: 3. T F T T T F קשרים שלמה. פתרון: אנו יודעים ש {, } היא מערכת קשרים שלמה, לכן נביע את ואת p p p לכן. p p p נשים לב ש F T באמצעות. נתבונן בטבלה: T F (p q) p q לכן q).p q (p q) (p ז''א { } מערכת קשרים שלמה (צריכים להוכיח באינדוקציה, כמו בשאלה הקודמת). (ב) נסחו פסוק במערכת { } ששקול לוגית לפסוק p). (q r פתרון: נשים לב ש p q p ( q), (p q) r (p q) ( r) (p q) ( r) ((p q) (p q)) (r r). לכן 4. הוכיחו ש 3
(א) { } היא לא מערכת קשרים שלמה. פתרון: נתבונן בהשמה g שנותנת ערך F לכל משתנה פסוקי, ונוכיח באינדוקציה שלמה על אורך הפסוק שלכל פסוק ϕ הכתוב רק באמצעות מתקיים: val(ϕ, g) = F. אם ϕ = p הוא משתנה פסוקי, אז.val(p, g) = g(p) = F אם (χ ϕ, = ψ) אז לפי הנחת האינדוקציה (האורך של ψ ו χ קטן ממש מהאורך של (ϕ יש val(ψ, g) = F ו,val(χ, g) = F לכן val(ϕ, g) = t (val(ψ, g), val(χ, g)) = t (F, F ) = F. ז''א הטענה נכונה עבור ϕ, לכן היא נכונה. לכן לא קיים פסוק במערכת { } ששקול לוגית לפסוק שהוא טאוטולוגיה, ז''א { } לא מערכת קשרים שלמה. (ב) {, } היא לא מערכת קשרים שלמה. פתרון: נתבונן בהשמה g שנותנת ערך F לכל משתנה פסוקי, ונוכיח באינדוקציה שלמה על אורך הפסוק שלכל פסוק ϕ הכתוב רק באמצעות, מתקיים: val(ϕ, g) = F. אם ϕ = p הוא משתנה פסוקי, אז.val(p, g) = g(p) = F אם (χ ϕ, = ψ) אז לפי הנחת האינדוקציה (האורך של ψ ו χ קטן ממש מהאורך של (ϕ יש val(ψ, g) = F ו,val(χ, g) = F לכן val(ϕ, g) = t (val(ψ, g), val(χ, g)) = t (F, F ) = F. אם (χ ϕ, = ψ) אז לפי הנחת האינדוקציה (האורך של ψ ו χ קטן ממש מהאורך של (ϕ יש val(ψ, g) = F ו,val(χ, g) = F לכן val(ϕ, g) = t (val(ψ, g), val(χ, g)) = t (F, F ) = F. ז''א הטענה נכונה עבור ϕ, לכן היא נכונה. לכן לא קיים פסוק במערכת {, } ששקול לוגית לפסוק שהוא טאוטולוגיה, ז''א {, } לא מערכת קשרים שלמה. 5. קבוצת פסוקים Σ נקראת עקבית אם קיימת השמה g כך ש val(α, (g = T לכל α. Σ האם הקבוצות הבאות עקביות? הוכיחו או הפריכו: (א) p}.σ = {(p q) r, r פתרון: Σ עקבית, כי קיימת השמה למשל )} F g = {(p, F ), (q, F ), (r, כך ש.α Σ לכל val(α, g) = T (ב) ( p)}.σ = {p, p q, q r, r פתרון: Σ לא עקבית. נניח בשלילה ש Σ עקבית, אז יש השמה g כך ש val(α, g) = T לכל.α Σ בפרט,val(p, g) = T ומכוון ש,val(p q, g) = T חייב להיות.val(q, g) = T מכוון ש,val(p r, g) = T חייב להיות,val( p, g) = T חייב להיות,val(r ( p), g) = T ומכוון ש,val(r, g) = T כלומר.val(p, (g = F סתירה! לכן Σ לא עקבית. 4
x y x y F F F F T T T F T T T F.6 נתונה הפעולה } F {T, F } 2 {T, : המוגדרת ע''י הטבלה: (א) הוכיחו שהפעולה קומוטטיבית, כלומר לכל x, y יש.x y = y x פתרון: רואים זאת מיד מהטבלה. x y x y y x F F F F F T T T T F T T T T F F (ב) הוכיחו שהפעולה אסוציאטיבית, כלומר לכל,x,y z יש.x (y z) = (x y) z פתרון: גם כאן רואים זאת מהטבלה. x y z (x y) z x (y z) F F F F F F F T T T F T F T T F T T F F T F F T T T F T F F T T F F F T T T T T 7. נגדיר סדר קווי על הקבוצה } T,F} ע''י F. T ע''פ סדר זה נגדיר סדר חלקי, שגם אותו נסמן ע''י, על הקבוצה {T, F } 2 = {(F, F ), (F, T ), (T, F ), (T, T )} כך: ) 2 (x 1, y 1 ) (x 2, y אם x 1 x 2 וגם.y 1 y 2 ראו איור.1 פעולה דו מקומית } F f : {T, F } 2 {T, נקראת מונוטונית אם היא שומרת על הסדר, כלומר לכל } 2 T (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) {F, מתקיים (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) f(x 1, y 1 ) f(x 2, y 2 ) (א) מי מבין הקשרים הלוגיים הדו מקומיים שאתם מכירים, כלומר },, {, הוא פעולה מונוטונית? פתרון: מבין הקשרים הנ''ל רק ו הם פעולות מונוטוניות. (ב) מיצאו את כל הפעולות הדו מקומיות המונוטוניות. פתרון: פעולה דו מקומית מונוטונית f מתקבלת מאיור 1 ע''י החלפת הזוגות (F, F ), (F, T ), (T, F ), (T, T ) 5
איור 1: שאלה (7) הסדר החלקי על טבלת אמת של 2 משתנים שבאיור ב,F T כך שהסדר F T נשמר. למשל, החלפת ) F,F) ב F פירושה.f((F, F (( = F כל הפעולות הדו מקומיות המונוטוניות מופיעות באיור 2. למשל הסדר החלקי (4) למעלה משמאל באיור 2 מתאים לפעולה הבאה x y f(x, y) F F F F T T T F F T T T (ג) הוכיחו שכל פעולה דו מקומית מונוטונית היא אסוציאטיבית, כלומר לכל,x,y z יש.x (y z) = (x y) z פתרון: נתבונן בפעולות שבאיור 2, אז פעולה (2) היא, פעולה (5) היא, לכן הן אסוציאטיביות. פעולות (1) ו (6) הן קבועות לכן הן אסוציאטיביות. נשאר לבדוק את פעולות (3) ו (4). פעולה (3) היא x y x 3 y F F F F T F T F T T T T שימו לב ש,x 3 y = x לכן (x 3 y) 3 z = x 3 y = x וגם x 3 (y 3 z) = x לכן הפעולה אסוציאטיבית. אסוציאטיבית. אפשר גם לראות ע''פ הטבלה הבאה שהפעולה 6
איור 2: שאלה (7) סעיף (ב) יש 6 פעולות דו מקומיות מונוטוניות. 7
x y z (x 3 y) 3 z x 3 (y 3 z) F F F F F F F T F F F T F F F F T T F F T F F T T T F T T T T T F T T T T T T T פעולה (4) היא x y x 4 y F F F F T T T F F T T T שימו לב ש,x 4 y = y לכן (x 4 y) 4 z = z וגם x 4 (y 4 z) = y 4 z = z לכן הפעולה אסוציאטיבית. אסוציאטיבית. אפשר לראות גם ע''פ הטבלה הבאה שהפעולה x y z (x 4 y) 4 z x 4 (y 4 z) F F F F F F F T T T F T F F F F T T T T T F F F F T F T T T T T F F F T T T T T (ד) הוכיחו שאם (y,g(x, (y,f(x, ו (y h(x, הן פעולות דו מקומיות מונוטוניות, אז גם הפעולה y) k(x, המוגדרת ע''י y)) k(x, y) = h(f(x, y), g(x, היא מונוטונית. פתרון: יהיו } 2 T,(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) {F, ונניח ש ) 2.(x 1, y 1 ) (x 2, y אז צריך להוכיח ש k(x 1, y 1 ) k(x 2, y 2 ) כלומר צ''ל ש ((.h(f(x 1, y 1 ), g(x 1, y 1 )) h(f(x 2, y 2 ), g(x 2, y 2 מכוון ש ) 2 (x 1, y 1 ) (x 2, y ו f ו g מונוטוניות נקבל f(x 1, y 1 ) f(x 2, y 2 ) g(x 1, y 1 ) g(x 2, y 2 ) ומכוון ש h מונוטונית נקבל h(f(x 1, y 1 ), g(x 1, y 1 )) h(f(x 2, y 2 ), g(x 2, y 2 )). 8
לכן k מונוטונית. 8. תהי Σ קבוצת פסוקים. הוכיחו את הטענות הבאות (א) Σ עקבית אם ורק אם ( p).σ p פתרון: נניח Σ עקבית. ונניח בשלילה ש (p ) Σ. p מכוון ש Σ עקבית, קיימת השמה g כך ש val(α, g) = T לכל.α Σ לכן,val(p ( p), g) = T ז''א val(p, g) = T וגם.Σ p ( p) סתירה! לכן,val(p, g) = F נניח (p ) Σ. p אז קיימת השמה g כך ש val(α, g) = T לכל α Σ (וכך ש,(val(p ( p), g) = F לכן Σ עקבית. הערה: אם Σ לא גוררת לוגית פסוק כלשהו, אז מהגדרת גרירה לוגית נובע ש Σ עקבית. (ב) Σ אינה עקבית אם ורק אם Σ גוררת כל פסוק, כלומר לכל פסוק ϕ יש Σ. ϕ פתרון: מ (א) נובע שאם Σ לא עקבית אז (p ) Σ, p בתרגיל 10 (ג) בדף 6 ראינו שקבוצה המכילה פסוק שיקרי גוררת כל פסוק, לכן {(p ) p} גוררת כל פסוק, ז''א Σ גוררת כל פסוק. נניח Σ גוררת כל פסוק, אז בפרט (p ) Σ, p לכן לפי (א) Σ אינה עקבית. 9. נניח ϕ פסוק הכתוב באמצעות בלבד. הוכיחו כי קיים משתנה פסוקי p ב ϕ כך ש ϕ). אינדוקציה על האורך של (רמז: p. ϕ פתרון: באינדוקציה על אורך ϕ. אם האורך של ϕ הוא 1, אז ϕ הוא משתנה פסוקי, למשל ϕ. = p אז קיים משתנה פסוקי שגורר לוגית את p. p ϕ: נניח הטענה נכונה לכל פסוק שאורכו קטן מ > 1 n. יהי ϕ פסוק שאורכו n. אז ϕ = α β האורך של β קטן מהאורך של ϕ, לכן לפי הנחת האינדוקציה קיים משתנה פסוקי p כך ש.p β אז עבור השמה g כך ש val(p, g) = T נקבל,val(β, g) = T וזה גורר ש,val(α β, g) = T כלומר p (α β) ז''א p. ϕ לכן הטענה נכונה גם עבור n, לכן היא נכונה לכל פסוק ϕ במערכת.{ } הערה: בשאלות כאלה, כלומר אינדוקציה על אורך הפסוק, במבט ראשון ההוכחה באינדוקציה לא ממש מסתדרת עם מה שלמדנו בפרק על האינדוקציה. וזה בגלל שלא לכל n N קיים פסוק שאורכו n (למשל אין פסוק שאורכו 3, האורך של (p ) הוא 4). מתגברים על בעיה זו כך: נניח רוצים להוכיח טענה P לגבי פסוקים. נגדיר את הקבוצה A כך: {קיים פסוק באורך n וכל פסוק באורך n מקיים את A = {n N : P.{לא קיים פסוק באורך {n N : n ואז מוכיחים ע''י אקסיומת האינדוקציה (השלמה) ש A. = N 9